khai triển và rút gọn 2 vế ta được x(x+1)=y⁴+2y³+3y²+2y

<=> x(x+1)=y²(y+1)²+2y(y+1)

<=> x²+x+1=(y²+y+1)² (1)

nếu x>0 thì từ x²<x²+x+1<(x+1)² => (1) không có nghiệm nguyên x>0

nếu x=0 hoặc x=-1 thì từ (1) => y²+y+1 = \(\pm\)1 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\y=-1\end{cases}}\)

ta có nghiệm (x;y)=(0;0);(0;-1);(-1;0);(-1;-1)

nếu x<-1 thì từ (x+1)²<x²+x+1<x²

=> (1) không có nghiệm nguyên x<-1

tóm lại phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên (x;y)=(0;0);(0;-1);(-1;0);(-1;-1)

Ta co :(x+y)^2=(x-1)(y-1)

X^2+2xy+y^2=xy-x-y+1

2x^2+2xy+2y^2+x+y-2=0

(x^2+2xy+y^2)+(x^2+2x+1)+(y^2+2y+1)=4

(x+y)^2+(x+1)^2+(y+1)^2=4

Do x;y€Z nen (x+y)^2;(x+1)^2;(y+1)^2 la cac so chinh phuong

Suy ra co 3 truong hop

°(x+y)^2=0;(x+1)^2=0;(y+1)^2=4

°(x+y)^2=0;(x+1)^2=4;(y+1)^2=0

°(x+y)^2=4;(x+1)^2=0;(y+1)^2=0

Sau do tu giai ra tim x;y

a.

\(\left\{{}\begin{matrix}x^4+y^4=34\\y=2-x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^4+\left(x-2\right)^4=34\)

Đặt \(x-1=t\)

\(\Rightarrow\left(t+1\right)^4+\left(t-1\right)^4=34\)

\(\Leftrightarrow t^4+6t^2-16=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t^2=2\\t^2=-8\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\sqrt{2}\Rightarrow x=\sqrt{2}+1\Rightarrow y=1-\sqrt{2}\\t=-\sqrt{2}\Rightarrow x=1-\sqrt{2}\Rightarrow y=1+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

b.

\(\left\{{}\begin{matrix}xy^2-x^2y+6x-y^2-y-6=0\\x^2y-xy^2+6y-x^2-x-6=0\end{matrix}\right.\) (1)

Lần lượt cộng 2 vế và trừ 2 vế ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}-x^2-y^2+5x+5y-12=0\\2xy\left(y-x\right)+7\left(x-y\right)+\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-5\left(x+y\right)+12=0\\\left(y-x\right)\left(2xy-x-y-7\right)=0\end{matrix}\right.\)

Th1: \(\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x^2+y^2-5\left(x+y\right)+12=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2x^2-10x+12=0\Rightarrow...\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}2xy-\left(x+y\right)-7=0\\x^2+y^2-5\left(x+y\right)+12=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2xy-\left(x+y\right)-7=0\\\left(x+y\right)^2-2xy-5\left(x+y\right)+12=0\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=u\\xy=v\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2v-u-7=0\\u^2-2v-5u+12=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow u^2-6u+5=0\)

\(\Leftrightarrow...\)

\(PT\Leftrightarrow xy\left(x+y-1\right)+\left(x+y-1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(xy+1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y-1=1\\xy+1=1\end{cases}hoac\hept{\begin{cases}x+y-1=-1\\xy+1=-1\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=2\\xy=0\end{cases}hoac\hept{\begin{cases}x+y=0\\xy=-2\end{cases}}}\)

Đến đây thì đơn giản rồi nhé :)))

Phương trình tương đương: \(\left(x+y\right)\left(x^2y^2+1\right)=xy+2\)

\(\Leftrightarrow x+y=\frac{xu+2}{x^2y^2+1}\)

\(\Rightarrow\left(xy+2\right)⋮\left(x^2y^2+1\right)\Rightarrow\left(x^2y^2-4\right)⋮\left(x^2y^2+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(x^2y^2+1-5\right)⋮\left(x^2y^2+1\right)\Rightarrow5⋮\left(x^2y^2+1\right)\)

\(\Rightarrow x^2y^2+1\in\left\{1;5\right\}\Rightarrow x^2y^2\in\left\{0;4\right\}\Rightarrow xy\in\left\{-2;0;2\right\}\)

Vậy: \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(0;2\right);\left(2;0\right)\right\}\)

a) Thay m=2 vào hệ phương trình, ta được: 

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=5\\2x-y=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-4y=10\\2x-y=7\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3y=3\\x-2y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=5+2y=5+2\cdot\left(-1\right)=3\end{matrix}\right.\)

Vậy: Khi m=2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x,y)=(3;-1)